Rozwiazywanie równan rózniczkowych

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta

A. Syta (Politechnika Lubelska)

1 / 19

Wstęp

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań symbolicznie i numerycznie Symboliczne rozwiązywanie równań z użyciem Maximy Numeryczne rozwiązywanie równań z użyciem Octave Podsumowanie

A. Syta (Politechnika Lubelska)

2 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości Wybrane przykłady zastosowania równań różniczkowych: Mechanika (teoria drgań) Automatyka (teoria sterowania) Elektryka (teoria przewodnictwa) Biologia (rozwój populacji, modele epidemiologiczne) Ekonomia (modele ekonomiczne) Chemia (reakcje chemiczne) A. Syta (Politechnika Lubelska)

3 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Pakiety do obliczeń symbolicznych

Oprogramowanie komercyjne: Mathematica - http://www.wolfram.com/ Maple - http://www.maplesoft.com/ Oprogramowanie wolne: Maxima i WxMaxima (nakładka graficzna) http://maxima.sourceforge.net/

A. Syta (Politechnika Lubelska)

4 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Pakiety do obliczeń numerycznych Oprogramowanie komercyjne: Matlab i Simulink - www.mathworks.com/ Mathematica - http://www.wolfram.com/ Maple - http://www.maplesoft.com/ Oprogramowanie wolne: Octave - http://www.gnu.org/software/octave/ Scilab i Xcos - http://www.scilab.org/

A. Syta (Politechnika Lubelska)

5 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Rozwiązywanie równań różniczkowych symbolicznie i numerycznie Rozwiązanie symboliczne Wykorzystywany jest język symboliczny, w którym zapisujemy równanie i dostajemy rozwiązanie (ogólne jak i szczególne - również w postaci symbolicznej) wywołując odpowiednią dla danego pakietu funkcję. Rozwiązanie numeryczne Wykorzystywane są metody numeryczne, dzięki którym można znaleźć rozwiązanie szczególne dane jako szereg czasowy (ciąg wartości zapisanych z jednakowym odstępem).

A. Syta (Politechnika Lubelska)

6 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Symboliczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Maximy

Wykorzystywane funkcje ode2 - rozwiązuje równania rzędu I i II ic1 - definiuje zagadnienie początkowe - rzędu I, np. x(t0 ) = x0 ic2 - definiuje zagadnienie początkowe - rządu II, np. x(t0 ) = x0 ,x 0 (t0 ) = x00

A. Syta (Politechnika Lubelska)

7 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Symboliczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Maximy

Składnia funkcji ode2 (równanie,zmienna zależna,zmienna niezależna) ic1 (rozwiązanie,warunek początkowy argument,warunek początkowy wartość) ic2 (rozwiązanie,warunek początkowy argument,warunek początkowy wartość,warunek początkowy wartość pochodnej)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

8 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Symboliczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Maximy

Przykład 1: Rozwiążmy zagadnienie początkowe: y 00 + 3y 0 + 2y = t, y (0),y 0 (0) = 0 Sposób postępowania: 1 Definicja równania: rr1: ’diff(y,t,2)+3*’diff(y,t)+2y=t 2

Rozwiązanie ogólne: ro1: ode2(rr1,y,t)

3

Rozwiązanie szczególne: rsz1:ic2(ro1,t=0,y=0,’diff(y,t)=0)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

9 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Symboliczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Maximy

Transformata Laplace’a - wykorzystywane funkcje atvalue - definiuje warunek lub warunki początkowe laplace - transformata Laplace’a solve - rozwiązuje przekształcone równanie ze względu na transformatę L [y (t)] ilt - odwrotna transformata Laplace’a map - odwrotna transformata obydwu stron

A. Syta (Politechnika Lubelska)

10 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Transformata Laplace’a - składnia funkcji Rozwiązywanie za pomocą transformaty Laplace’a atvalue (równanie,warunek początkowy argument,warunek początkowy wartość) laplace (równanie,zmienna niezależna oryginału,zmienna niezależna transformaty) solve (transformata równania,niewiadoma funkcja) ilt (transformata równania, zmienna niezależna transformaty, zmienna niezależna oryginału) map (lambda([nazwa równania], ilt(nazwa równania, s, t)), transformata rozwiązania)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

11 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Symboliczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Maximy Przykład 1: Rozwiążmy zagadnienie początkowe: y 00 + 3y 0 + 2y = t, y (0),y 0 (0) = 0 Sposób postępowania: 1 rr1: ’diff(y(t),t,2)+3*’diff(y(t),t)+2*y(t)=t 2

atvalue(y(t),t=0,0)

3

atvalue(’diff(y(t),t),t=0,0)

4

lrr1: laplace(rr1,t,s)

5

lroz1: solve(lrr1,’laplace(rr1,t,s))

6

map(lambda([rozw],ilt(rozw,s,t)),lroz1)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

12 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Numeryczne rozwiązywanie niektórych równań z użyciem Octave

Rozwiązujemy zawsze układ równań rzędu 1 (każde równanie rzędu ­ 2 można zapisać jako układ równań rzędu 1, sytuacja odwrotna nie zawsze jest możliwa) Definiujemy funkcję zawierającą dany układ równań Tworzymy wektor czasu t Definiujemy wektor zawierający warunki początkowe: x0 Wywołujemy funkcję: lsode(@uklad,x0,t) w MATLABIE: ode(@uklad,t,x0)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

13 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Oscylator jednowymiarowy Rozpatrzmy układ dynamiczny składający się z masy (m) zaczepionej na sprężynie o liniowej sprężystości (kx).

A. Syta (Politechnika Lubelska)

14 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Oscylator jednowymiarowy - równanie ruchu Druga zasada dynamiki Newtona “Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona.”

~, mx 00 = F mx 00 = −kx,

~ = −kx F x 00 +

k x =0 m

Ostatecznie: s 00

2

x + ω x = 0,

A. Syta (Politechnika Lubelska)

ω=

k − częstość drgań własnych m

15 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Oscylator jednowymiarowy - równanie ruchu

Równanie ruchu drugiego rzędu zapisujemy jako układ równań rzędu pierwszego: 1

2

3

Przenosimy na prawą stronę: x 00 = −ω 2 x dx Podstawiamy: x = x1 , = x2 dt W naszym przypadku: dx1 = x2 dt dx2    = −ω 2 x1 dt    

A. Syta (Politechnika Lubelska)

16 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Oscylator jednowymiarowy - modyfikacje Oscylator bez tłumienia i wymuszenia: x 00 = −ω 2 x Oscylator bez tłumienia i z wymuszeniem: x 00 = −ω 2 x + A cos (ωw · t) Oscylator z tłumieniem liniowym i bez wymuszenia: x 00 = −bx 0 − ωx 2 Oscylator z tłumieniem liniowym i z wymuszeniem: x 00 = −bx 0 − ω 2 x + A cos (ωw · t) A. Syta (Politechnika Lubelska)

17 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Układ nieliniowy Duffinga Układ Duffinga x 00 = −ax 0 − x(b + cx 2 ) + f0 cos (ωt) Nieliniowe tłumienie: x(b + cx 2 ) Dla c = 0 - oscylator liniowy z liniowym tłumieniem i wymuszeniem Typowe wartości: a = 0.1 b = 1.0 c = 1.0 ω = 1.4 Rozwiązanie okresowe: f0 = 0.1 Podwojenie okresu: f0 = 0.32 Rozwiązanie nieokresowe: f0 = 0.35 A. Syta (Politechnika Lubelska)

18 / 19

Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i ich możliwości

Układ nieliniowy Lorenza Układ Lorenza    

x 0 = a(y − x) y 0 = −xz + bx − y    0 z = xy − cz Typowe wartości parametrów: a = 16.0, b = 45.92, c = 4.0 Efekt motyla ”Dowolny układ fizyczny, który zachowuje się nieokresowo, jest nieprzewidywalny”. (Edward Lorenz)

A. Syta (Politechnika Lubelska)

19 / 19