Una incursión en la obra matemática de Luis Vigil

Una incursi´on en la obra matem´atica de Luis Vigil Francisco Marcell´ an Instituto de Ciencias Matem´ aticas (ICMAT) y Departamento of Matem´ aticas, Universidad Carlos III de Madrid

Research Meeting on Approximation Theory, E.I.T.A. 2014 En el centenario del nacimiento de D. Luis Vigil y V´azquez (1914-2003) Alqu´ezar, 17-19 de Octubre de 2014.

F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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Luis Vigil y polinomios ortogonales

2

Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvas algebraicas

3

Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

9

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

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Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvas algebraicas

3

Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

9

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

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Luis Vigil y polinomios ortogonales Articulos L. Vigil (MathSciNet): 29 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad. Polinomios ortogonales respecto a medidas soportadas sobre curvas del plano complejo. 17 art´ıculos sobre estos t´opicos.

Primeros articulos 1 2

A functional identity in the theory of orthogonal polynomialsa On formal properties of orthogonal polynomials. 1 2

Summation and recurrence Zeros and Christoffel constantsb

Colaboradores: M. P. Alfaro (9), M. Alfaro (1), J.J. Guadalupe (1). a b

Rev. Acad. Ciencias Madrid 60, 1966 Rev. Acad. Ciencias Madrid 63, 1969

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Mis art´ıculos favoritos

1

Orthogonal polynomials on real algebraic curves, Proc XI Annual Conference of Spanish Mathematicians (Murcia 1970). Universidad Complutense de Madrid 1973.

2

Correspondance entre suites de polynˆ omes orthogonaux et fonctions ∞ de la boule unit´e de H0 . In Proceedings Bar-le-Duc 1984. Lect. Notes in Math. 1171, Springer-Verlag Berlin 1985. (Con M. Alfaro, M. P. Alfaro, J. J. Guadalupe).

3

Solution of a problem of P. Tur´an on zeros of orthogonal polynomials on the unit circle, J. Approx. Theory 53(1988) (Reviewer: W. Van Assche)

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Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvas algebraicas

3

Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

9

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

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Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil (1970)

1

Matriz de momentos como matriz estructurada.

2

Problema de momentos como un problema inverso (determinar la medida y su curva soporte).

3

Propiedades estructurales de polinomios ortogonales (f´ormulas de recurrencia y sumaci´on).

4

Problema inverso.

5

Localizaci´on de ceros de polinomios ortogonales.

6

Extensi´on t´ıpica: Interpolaci´ on y cuadratura.

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Polinomios ortogonales sobre curvas algebraicas X

γ = {z ∈ C :

ak,j z k z¯j = 0}

0≤k,j≤N

= {z ∈ C : D(z, z¯) = 0}, donde X

D(z, w) =

ak,j z k wj .

0≤k,j≤N

Sea µ una medida de probabilidad soportada en γ X

ak,j ck+l,j+i = 0,

0≤k,j≤N

donde

Z cl,i =

z l z¯i dµ

γ F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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La matriz de Gram respecto a la base can´ onica {z n }n∈N se denomina matriz D-estructurada o matriz relativa a la curva γ.

Ejemplo  D=

1 0 0 −1



 0 −1 D= 1 0   0 1 0 D = −1 0 −1 0 1 0   0 0 1 D = 0 0 0  1 0 −1

Circunferencia unidad.



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Recta real.

Uni´ on de circunferencia unidad y recta real.

Lemniscata de Bernoulli.

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Sea a(z) = aN z N + aN −1 z N −1 + · · · + a1 z + a0 , aN 6= 0. Curvas algebraicas arm´ onicas Ima(z) = 0. (J. Vinuesa, Diciembre 1973) D = ae∗1 − e1 a∗ Curvas equipotenciales polin´ omicas |a(z)| = 1. (F. Marcell´an, Diciembre 1976). D = aa∗ − e1 e∗1 En todos los casos anteriores, RankD = 2 !! Curvas equipotenciales racionales |a(z)| = |b(z)|. (L. Moral, Mayo 1983).

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definici´on Se dice que una sucesi´on de polinomios ortogonales (SPO) (Pn )n∈N satisface una relaci´on de recurrencia si existe un n´ umero natural h tal que Pn+h (z) =

h−1 X

αh,j (z)Ph+j (z)

j=0

donde los αh,j (z) son polinomios de grado independiente de n y, a lo m´as h − j.

Problema ¿ Todas las SPO relativas a curvas algebraicas reales poseen f´ormulas de recurrencia?

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definici´on Una SPO (Pn (z))n∈N posee una f´ ormula de sumaci´ on si existe un n´ umero natural k tal que Pk−1 Kn+k (z, y) =

i=0

Qn+i (y)Pn+i (z) R(z, y)

siendo Qn+i (z), R(z, y) polinomios en una y dos variables, respectivamente, y Kn (x, y) es el n-n´ ucleo reproductor.

Problema ¿Todos las SPO relativas a curvas algebraicas poseen f´ormulas de sumaci´on? Interpretaci´ on matricial de las formulas de sumaci´ on: Inversi´on de matrices D-estructuradas cuya inversa es D-B´ezoutiana (G. Heinig 1991)

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Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

9

Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

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Curvas algebraicas arm´onicas 1

Extensi´on natural de la recta real. El operador de multiplicaci´on por a(z) es sim´etrico Relaci´ on de recurrencia. F´ ormula de sumaci´ on Equivalencia entre ambas.

=⇒

(i) i+1 An−i Pn−i (z)

PN

(i) i=0 An Pn+i (z)

PN

(0)

con An ∈ R

2

a(z)Pn (z) =

3

α-matriz de Jacobi de orden N i.e. matriz hermitiana (2N+1) banda.

4

Kn(z,y) =

PN

i=1

Pn

l=n−i+1

+

(i) (i) Al Pˆl (y)Pˆl+i (z)−Al Pˆl (z)Pˆl+i (y)

a(z)−a(y)

.

Ejemplo Hip´erbolas equil´ateras. Recta del plano complejo. F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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Curvas algebraicas arm´ onicas

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Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

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Curvas equipotenciales polin´omicas

1

Extensi´on natural de la circunferencia unidad. El operador de multiplicaci´on por a(z) es unitario. Relaci´ on de recurrencia. F´ ormula de sumaci´ on Equivalencia entre ambas.

=⇒

PN

k=1 λn,k Kn−1 (z, αk ),

2

a(z)Pn (z) = aN Pn+N (z) + Q a(z) = aN N j=1 (z − αj )

3

Matriz de Hessenberg de orden N . f´ormula de sumaci´on

4

Kn(z,y) =

a(z)a(y)

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Pn

j=n−N +1

donde

P (n) Pˆj (y)Pˆj (z) − Mk,k Kn (z, αk )Kn (y, αk ) a(z)a(y) − 1

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Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

9

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Curvas equipotenciales racionales |a(z)| = |b(z)| Idea clave: Perturbaci´on de medidas Pn (z) −→ dµ Qn (z; s) −→ |s(z)|2 dµ Q con deg s(z) = h y s(z) = sh hj=1 (z − αj ).

Proposici´on (Extensi´on de la f´ormula de Christoffel) s(z)Qn (z; s) = sh Pn+h (z) +

h X

λn,j Kn+h−1 (z, αj )

j=1

considerar

s(z) = a(z) s(z) = b(z)

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con Qn (z; a) = Qn (z; b)

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Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

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Extensiones de productos escalares sobre curvas.

definici´on Dada una matriz HDP mn−1 = [cp,q ]n−1 p,q=0 a toda matriz HDP mn obtenida orlando la matriz mn−1 con fila y columna n-´esimas se llama extensi´on de mn−1 .

definici´on Si mn−1 es una matriz relativa a γ y mn es una extensi´on tambi´en relativa a γ se dice que mn es una γ-extensi´ on de mn−1 .

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definici´on Dada una n-upla {α1 , α2 . . . , αn } con αi 6= αk y {p1 , p2 . . . , pn } reales positivos, se llama t´ıpico el producto escalar definido en Pn mediante

D

h

z ,z

k

E

=

n X

pj αjh αkj

(h, k) 6= (n, n)

j=1

hz n , z n i = en +

n X

pj αjn αnj

j=1

Proposici´on 1 Pn (z) =

Qn

k=1 (z

− αk ).

2 Las ra´ıces de Pk (z) (1 ≤ k ≤ n − 1) se encuentran en el interior de la envoltura convexa de {α1 , α2 . . . , αn }.

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3 Dado un producto escalar en Pn−1 mediante una matriz de Gram HDP y dados n n´ umeros complejos distintos {α1 , α2 . . . , αn } y un en > 0,Qla condici´ on necesaria y suficiente para que Pn (z) = nk=1 (z − αk ) sea el n´esimo polinomio ortogonal de grado n en una extensi´on t´ıpica de Pn−1 a Pn es que los polinomios de la base de Lagrange asociada a {α1 , α2 . . . , αn } constituyan un sistema ortogonal en Pn−1 . 4 Dado un producto escalar en Pn−1 , a cada α ∈ C con Pn−1 (α) 6= 0 y cada en > 0 le corresponde una extensi´on t´ıpica Kn−1 (z; α) . Pn (z; α) = (z − α) Pn−1 (α)

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Teorema (J. Vinuesa ,1984) mn = [cp,q ]np,q=0 , n ≥ 2N − 1, es una extensi´ on γ-t´ıpica de su submatriz principal de orden n − 1 si y solo si las ra´ıces de dicha extensi´on pertenecen a la curva γ

⇓ F´ ormulas de cuadratura en la recta real y la circunferencia unidad. Generalizaci´on al caso de ceros m´ ultiples. Su conexi´ on con discretizaciones de productos de Sobolev. (A. Cachafeiro, F. Marcell´an, 1990)

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Curvas equipotenciales polin´ omicas

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Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

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Problemas inversos y recurrencias Si una familia de polinomios satisface una relaci´ on de recurrencia, ¿Existe un producto escalar respecto al que estos polinomios son ortogonales.? ¿Qu´e se puede decir de las medidas de ortogonalidad y de su soporte? Favard: xpn (x) = an+1 pn+1 (x) + bn pn (x) + an pn−1 (x), n ≥ 1, bn ∈ R, an > 0 existe una medida de probabilidad no trivial µ soportada en la recta real tal que Z pn (x)pm (x)dµ = δn,m . R

P. L. Duren (1965): Sea γ una curva anal´ıtica de Jordan en el plano complejo y w una funci´on continua y positiva en γ. Sea (Pn (z))n∈N una sucesi´ on de polinomios ortonormales sobre la curva respecto al peso w i.e. R on de recurrencia γ Pn (z)Pm (z)w(z)|dz| = δn,m satisfaciendo una relaci´ αn Pn−1 (z) + (βn − z)Pn (z) + γn Pn+1 (z) = 0 F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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Pn (z) = kn z n +t´erminos de grado menor, kn > 0. Entonces γ es una elipse y las sucesiones {αn }n∈N , {βn }n∈N y {γn }n∈N , est´an acotadas

Ingrediente b´asico: G. Szeg˝o l´ım

n→∞

Pn+1 (z) = ψ(z), Pn (z)

z en el exterior de γ,

donde ψ(z) es la aplicaci´on conforme del exterior de γ en el exterior del disco unidad.

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A. J. Dur´an (1993) Determinaci´on de un producto escalar tal que la sucesion de polinomios ortonormales satisfaga una relaci´ on de recurrencia xN pn (x) = cn,0 pn (x) +

N X

[cn,l pn−l (x) + cn+l,l pn+l (x)] con cn,N 6= 0.

l=1

Proposici´on Existen funciones µ0 y µm,m0 , 1 ≤ m, m0 ≤ N − 1, con µm,m0 = µm0 ,m tal que los polinomios (pn (x))n∈N son ortogonales respecto a la forma bilineal Z Z B(f, g) = f (t)g(t)dµ0 + Vn (f )dM Vn (g)T donde



dµ0,0 ...  . .. dM =  dµN −1,0 . . . F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

 dµ0,N −1  .. , . dµN −1,N −1

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VN (f ) = (T0,N , T1,N (f ), . . . TN −1,N (f )) P donde para f (x) = i ai xi , X Tm,N (f )(x) = aiN +m xiN +m . i

Proposici´on Son equivalentes los siguientes enunciados 1

2

El operador xN es sim´etrico respecto a B y adem´as B(xN f, xg) = B(xf, xN g). Existe una funci´on µ y una matriz M ∈ R(N −1)×(N −1) tales que  (1)  g (0) Z     .. B(f, g) = f gdµ + f (1) (0) · · · f (N −1) (0) M  . . (N −1) g (0)

Si, adem´as B(xk , xm ) = B(1, xk+m ) 1 ≤ k, m ≤ N − 1, entonces M esan diagonal. F. Marcell´ (U. Carlos III, Madrid) Luis Vigil y Polinomios ortogonales October 18, 2014 28 / 39

Sea h(x) un polinomio de grado N . Consid´erese la base de P Bh = {xk hn (x); k = 0, 1, . . . , N − 1, n ∈ N}. Si p ∈ P p(x) =

N −1 X X

am,k xm hk (x).

m=0 k≥0

(Tesis de L. Vigil ”Sobre series de Jacobi”1950)

Teorema Son equivalentes los siguientes enunciados 1 2

B(hf, g) = B(f, hg) para todo polinomio f, g. Existen funciones µ0 y µm,m0 , 1 ≤ m, m0 ≤ N − 1, con µm,m0 = µm0 ,m tales que Z Z X B(f, g) = f gdµ0 + Tm,h (f )(x)Tm0 ,h (g)(x)dµm,m0 . 1≤m≤m0 ≤N −1

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Curvas equipotenciales racionales

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Extensiones de productos escalares sobre curvas.

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Problemas inversos y recurrencias

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Sea Rn,h (p)(x) = definamos

P

k≥0 an,k x

R0,h (pnN )  R0,h (pnN +1 )  Sn (x) =  ..  . R0,h (pnN +N −1 ) 



k.

Dado que p(x) =

R1,h (pnN ) R1,h (pnN +1 ) .. . R1,h (pnN +N −1 )

1 x .. .





··· ··· ···

PN −1 n=0

xn Rn,h (p)[h(x)]

 RN −1,h (pnN ) RN −1,h (pnN +1 )   , ..  . RN −1,h (pnN +N −1 )

PnN (x) PnN +1 (x) .. .



        Sn [h(x)]  =      N −1 x PnN +N −1 (x)

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Curvas algebraicas arm´ onicas: {Sn (x)}n∈N define una sucesi´on de polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real (F. Marcell´an, G. Sansigre, 1993). Curvas equipotenciales polin´ omicas: {Sn (x)}n∈N define una sucesi´on de polinomios ortogonales matriciales sobre la circunferencia unidad (F. Marcell´an, I. Rodr´ıguez, 1989). Polinomios ortogonales tipo Sobolev: {Sn (x)}n∈N define una sucesi´on de polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real perturbando la medida con una masa matricial (A. J. Dur´an, W. Van Assche, 1995).

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Curvas algebraicas arm´ onicas

4

Curvas equipotenciales polin´ omicas

5

Curvas equipotenciales racionales

6

Extensiones de productos escalares sobre curvas.

7

Problemas inversos y recurrencias

8

Conexi´on con PO matriciales

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→

Medida de probabilidad no trivial

Matriz de momentos (Toeplitz)

←

Funci´on de Carathe´odory F (z) = 1 + 2

∞ X n=1

c−n z n

→ ←

→ ←

Coeficientes de Schur

Funci´on de Schur (1+F (z))(1+f (z)) = 2

F´ ormulas de recurrencia para SPOM sobre la circunferencia unidad. φn+1 (z) = zφn (z) + φn+1 (0)φ∗n (z) φn+1 (z) = (1 − |φn (0)|2 )zφn (z) + φn+1 (0)φ∗n+1 (z) Teorema de Favard. Dada (αn )n∈N con |αn | < 1 existe una medida de probabilidad no trivial µ soportada en la circunferencia unidad tal que φn (0) = αn , n ≥ 1, siendo (φn )n∈N la SPOM respecto a µ. F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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Z Ωn (z) = 0

2π

 eiθ + z  iθ φ (e ) − φ (z) dµ(eiθ ) n n eiθ − z

Caracterizaci´on de la SPOM sobre la circunferencia unidadOPUC F. Peherstorfer, R. Steinbauer, 1995 φn (z)F (z) + Ωn (z) = O(z n ) φ∗n (z)F (z) − Ω∗n (z) = O(z n+1 ) 1. F es anal´ıtica en D con ReF (z) > 0 en D. 2. f es anal´ıtica en D con f (0) = 0 y |f (z)| < 1 en D. µ0 = ReF (eiθ ) =

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1 − |f (eiθ )|2 |1 + f (eiθ )|2

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Proposici´on (M. Alfaro, M. P. Alfaro, J. J. Guadalupe, L. Vigil, 1985)

1

Sea f ∈ B(H0∞ ). (φn (0))n∈N ∈ l2 si y solo si ln(1 − |f |) ∈ L1 (µ).

2

µ es singular si y solo si f es una funci´ on interior i.e. |f (eiθ )| = 1 a.e.

3

4

µ es absolutamente continua si y solo si Z π f (eiθ ) Re dθ = 0. iθ −π 1 + f (e ) iθ0

2

(re )| µ({eiθ0 }) > 0 si y solo si l´ımr→1 (1 − r) 1−|f > 0. Adem´as |1+f (reiθ0 )|2

1−r r→1 1 + f (reiθ )

µ({eiθ0 }) = 2π l´ım

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Ceros

φn (α) = 0 =⇒ |α| < 1. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre los par´ametros de Schur y los ceros de (φn )n∈N . De hecho, si φn+1 (zn+1 ) = 0, entonces φn+1 (0) = −

zn+1 φn (zn+1 ) . φ∗n (zn+1 )

Ceros como valores propios de submatrices principales de matrices infinitas asociadas al operador de multiplicaci´ on GGT −→ ortogonalizaci´ on de {z n }n∈N CMV −→ ortogonalizaci´ on de {1, z, z −1 , z 2 , z −2 . . .}.

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Polinomios para-ortogonales (W. Jones, O. Njastad, W. Thron, 1989) Dado |τn+1 | = 1 se define ψn+1 (z; τn+1 ) = zφn (z) + τn+1 φ∗n (z) 1 2

 ψn+1 (z; τn+1 ), z k = 0 para 1 ≤ k ≤ n. Si ψn+1 (α; τn+1 ) = 0 entonces |α| = 1. Los ceros de ψn+1 (z; τn+1 ) son unitarios y simples y se entrelazan con los ceros de ψn (z; τn ).

3

Z

π

f (eiθ )dµ(θ) =

−π

n X

f (zn,k ; τn )Λn,k

k=1

para toda f ∈ Λ−n,n (Extensi´ on t´ıpica en la circunferencia unidad). 4

n X

∗

Λn,k δ(z − zn,k ) → dµ.

k=1 F. Marcell´ an (U. Carlos III, Madrid)

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´ GRACIAS POR VUESTRA ATENCION

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